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向量运算

基本运算

加法

点积

三维向量的点积定义如下：

$$ \overrightarrow{\mathbf{u}} \cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=u{x} v{x}+u{y} v{y}+u{z} v{z}=|\overrightarrow{\mathbf{u}} || \overrightarrow{\mathbf{v}} | \cos (\overrightarrow{\mathbf{u}}, \overrightarrow{\mathbf{v}}) $$

叉积

三维向量的叉积定义如下：

$$ \overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{\mathbf{u}} \times \overrightarrow{\mathbf{v}}=\left[\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{\mathbf{i}}} & {\overrightarrow{\mathbf{j}}} & {\overrightarrow{\mathbf{k}}} \ {u{x}} & {u{y}} & {u{z}} \ {v{x}} & {v{y}} & {v{z}}\end{array}\right] $$

其中 $\overrightarrow{\mathbf{i}}, \overrightarrow{\mathbf{j}}, \overrightarrow{\mathbf{k}}$ 分别为 $x,y,z$ 轴的单位向量：

$$ \overrightarrow{\mathbf{u}}=u{x} \overrightarrow{\mathbf{i}}+u{y} \overrightarrow{\mathbf{j}}+u{z} \overrightarrow{\mathbf{k}}, \quad \overrightarrow{\mathbf{v}}=v{x} \overrightarrow{\mathbf{i}}+v{y} \overrightarrow{\mathbf{j}}+v{z} \overrightarrow{\mathbf{k}} $$

$\overrightarrow{\mathbf{u}}$ 和 $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ 的叉积垂直于 $\overrightarrow{\mathbf{u}}, \overrightarrow{\mathbf{v}}$ 构成的平面，其方向符合右手规则。叉积的模等于 $\overrightarrow{\mathbf{u}}, \overrightarrow{\mathbf{v}}$ 构成的平行四边形的面积，且符合如下的条件：

$$ \begin{array}{l}{\overrightarrow{\mathbf{u}} \times \overrightarrow{\mathbf{v}}=-\overrightarrow{\mathbf{v}} \times \overrightarrow{\mathbf{u}}} \ {\overrightarrow{\mathbf{u}} \times(\overrightarrow{\mathbf{v}} \times \overrightarrow{\mathbf{w}})=(\overrightarrow{\mathbf{u}} \cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}) \overrightarrow{\mathbf{v}}-(\overrightarrow{\mathbf{u}} \cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}) \overrightarrow{\mathbf{w}}}\end{array} $$

混合积

$$ \begin{array}{rl}{[\overrightarrow{\mathbf{u}} \overrightarrow{\mathbf{v}}} & {\overrightarrow{\mathbf{w}} ]=(\overrightarrow{\mathbf{u}} \times \overrightarrow{\mathbf{v}}) \cdot \overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{\mathbf{u}} \cdot(\overrightarrow{\mathbf{v}} \times \overrightarrow{\mathbf{w}})}

= \left|\begin{array}{lll}{u{x}} & {u{y}} & {u{z}} \ {v{x}} & {v{y}} & {v{z}} \ {w{x}} & {w{y}} & {w_{z}}\end{array}\right|

= \left|\begin{array}{lll}{u{x}} & {v{x}} & {w{x}} \ {u{y}} & {v{y}} & {w{y}} \ {u{z}} & {v{z}} & {w_{z}}\end{array}\right|

\end{array} $$

其物理意义为：以 $\overrightarrow{\mathbf{u}}, \overrightarrow{\mathbf{v}}, \overrightarrow{\mathbf{w}}$ 为三个棱边所围成的平行六面体的体积。当 $\overrightarrow{\mathbf{u}}, \overrightarrow{\mathbf{v}}, \overrightarrow{\mathbf{w}}$

并矢

给定两个向量 $\overrightarrow{\mathbf{x}}=\left(x{1}, x{2}, \cdots, x{n}\right)^{T}, \overrightarrow{\mathbf{y}}=\left(y{1}, y{2}, \cdots, y{m}\right)^{T}$，则向量的并矢记作：

$$ \overrightarrow{\mathbf{x}} \overrightarrow{\mathbf{y}}=\left[\begin{array}{cccc}{x{1} y{1}} & {x{1} y{2}} & {\cdots} & {x{1} y{m}} \ {x{2} y{1}} & {x{2} y{2}} & {\cdots} & {x{2} y{m}} \ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \ {x{n} y{1}} & {x{n} y{2}} & {\cdots} & {x{n} y{m}}\end{array}\right] $$

也记作 $\overrightarrow{\mathbf{x}} \otimes \overrightarrow{\mathbf{y}}$ 或者 $\overrightarrow{\mathrm{x}} \overrightarrow{\mathbf{y}}^{T}$。

线性相关

一组向量 $\overrightarrow{\mathbf{v}}{1}, \overrightarrow{\mathbf{v}}{2}, \cdots, \overrightarrow{\mathbf{v}}{n}$ 如果是线性相关的，那么值存在一组不全为零的实数，$a{1}, a{2}, \cdots, a{n}$，使得 $\sum{i=1}^{n} a{i} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{i}=\overrightarrow{\mathbf{0}}$。

反之，一组向量 $\overrightarrow{\mathbf{v}}{1}, \overrightarrow{\mathbf{v}}{2}, \cdots, \overrightarrow{\mathbf{v}}{n}$ 如果是线性无关的，当且仅当 $a{i}=0, i=1,2, \cdots, n$ 才有 $\sum{i=1}^{n} a{i} \overrightarrow{\mathbf{v}}_{i}=\overrightarrow{\mathbf{0}}$。

向量性质

维数

一个向量空间所包含的最大线性无关向量的数目，称作该向量空间的维数。

范数